Ruang-ruang Vektor

1.      Ruang-n Euclidis

Gagasan penggunaan pasangan bilangan untuk meletakkan titik-titik pada bidang dan penggunaan tripel bilangan untuk meletakkan titik-titik di ruang-3 pada mulanya diungkapkan secara jelas dalan pertengahan abad ke-17. Menjelang akhir abab ke-19 para ahli matematika dan para ahli fisika mulai menyadari bahwa tidak perlu berhenti dengan tripel. Pada waktu itu dikenal bahwa kuadrupel bilangan (a₁, a₂, a₃, a₄) dapat ditinjau sebagai titik pada ruang “berdimensi 4”, kuintupel (a₁, a₂, a₃, a₄, a₅) sebagai titik di ruang “berdimensi 5”, dan seterusnya. Walaupun visualisasi
geometrik kita tidak melebihi ruang-3, namun kita mungkin memperluas banyak gagasan yang sudah dikenal hingga melebihi ruang-3 dengan bekerja bagi sifat analitik atau sifat numeris titik dan vektor serta bukan bekerja dengan sifat geometrik.

Definisi:

Jika n adalah sebuah bilangan bulat positif, maka tupel-n-terorde (ordered-n-tuple)adalah sebuah urutan n bilangan riil (a₁, a₂, a₃, …, a_n). Himpunan semua tupelo-n-terordedinamakan ruang-n dan dinyatakan dengan Rⁿ.

2.      Ruang Vektor Umum

Definisi:

Misalkan V sebarang himpunan benda yang dua operasinya kita definisikan, yakni penambahan dan perkalian dengan skalar (bilangan riil). Penambahan tersebut kita pahami untuk mengasosiasikan sebuah aturan dengan setiap pasang benda u dan v dalamV, yang mengandung elemen u + v, yang kita namakan jumlah u dan v; dengan perkalian skalar kita artikan aturan untuk mengasosiasikannya baik untuk setiap skalar k maupun setiap benda u pada V yang mengandung elemen ku, yang dinamakan perkalian skalar (scalar multiple) u oleh k. Jika aksioma-aksioma berikut dipenuhi oleh semua benda u, v,w pada V dan oleh semua skalar k dan l, maka kita namakan V sebuah ruang vektor (vector space) dan benda-benda pada V kita namakan vektor:

1. jika u dan v adalah benda-benda pada V, maka u + v  berada di V;
2. u + v = v + u;
3. u + (v + w) = (u + v) + w;
4. ada sebuah benda 0 di V sehingga 0 + u = u + 0 = u untuk semua u di V;
5. untuk setiap u di V, ada sebuah benda – u di V yang kita namakan negatif u sehingga u+ (-u) = (-u) + u = 0;
6. jika k adalah sebarang skalar dan u adalah sebarang benda di V, maka ku berada di V;
7. k(u + v) = k u + k v;
8. (k + l) u = k u + l u;
9. k(l u) = (kl) u;
10. 1 u = u.

Melalui pemahaman ruang vektor yang sederhananya dalam ruang-n Euclidis, kita dapat memahami bahwa terdapat n ruang vektor, sebagaimana terdapat ruang berdimensi n yaitu Rⁿ dengan n bilangan bulat positif. Secara geometrik keberadaan ruang vektor dapat divisualisasikan sampai dengan ruang-3 dan secara analitik banyaknya ruang vektor ini bisa mencapai tak hingga.